证明无理数是存在的

作者：笔刀侠

涉及的数学知识：合格的中学生就足够，只要你有一定的逻辑思维能力。

这证明不是我第一个想出来的，是我几十年前读书读到的，只是到现在我还记得而已。

最初第一个想到这证明的人肯定比我厉害得多。

相信看官中有人有能力自己想证明过程出来。

这种“存在性证明”可转化为“举出一个特例来”的问题。就象你要说有鬼存在，你就抓一个鬼出来向大家展示就行了。

那我们就来证明2开平方的结果是无理数吧。这结论证明以后就等于本文题目所提问题解决了。

在开始证明之前，我们先要定义好“无理数”的概念：无理数就是——不是有理数的另外一种数。这定义又涉及另外一个定义——什么样的数叫“有理数”。我们就这样定义好了：凡是能表达成两个整数相除结果的数叫有理数。

我们假设“2开平方的根”是p/q，如果p、q两整数都是偶数，那么就分别除于2,直到这两整数至少有一个是奇数为止。

把p、q两整数的平方记作a=p*p、b=q*q，也就是说，2=a/b，那么，a=2*b；这说明，a是偶数、b是奇数（因为a、b奇偶相反）。

既然a是偶数，还是整数p的平方，那么a=p*p就表明p必须是偶数，因为奇数本身相乘是得不出偶数来的。

既然p是偶数，就有一个整数c使得 p=2*c，a=p*p=(2*c)*(2*c)=4*c*c，根据2=a/b可得：b=a/2=2*c*c，这又得出了b是偶数的结论。

既然b是偶数，b=q*q中的q也必须是偶数，因为奇数本身相乘是得不出偶数来的。

推论到这，得出了“p是偶数、q也必须是偶数”的结论，这不跟“这两整数至少有一个是奇数”的约定相反吗？

为何会得到这矛盾的结果呢？这只能说明“2开平方的根可表达成两整数p、q相除的形式p/q”是错误的，也就是说，“2开平方的根”不可以表达成两整数相除的形式，也就是说，2开平方的根就是一个无理数！

整个证明过程就这些，谢谢看官们的关注。